定义

公式

不完全贝塔函数

定义

Β(P,Q)=∫X^(P-1)*(1-X)^(Q-1)dX,其中上限是1,下限是0,当P>0且Q>0时收敛。需要注意这里B是大写希腊字母Beta而不是大写英文字母。这里这个积分又称为第一类欧拉积分，而第二类欧拉积分就是大名鼎鼎的伽玛函数

Γ(x).

公式

B(P,Q)={Γ(P)*Γ(Q)}/Γ(P+Q)，特别当P,Q都是整数时，我们可以将结果写成B(P,Q)=(P+Q)/(P*Q*C(P+Q,P))=1/(Q*C(P+Q-1,P-1)),其中C(m,n)是二项式系数。

B(P,Q)=B(Q,P).

B(P,Q)=2∫sin^{2P-1}(x)cos^{2Q-1}(x)dx, 其中积分上限为π/2,下限为0。

而根据斯泰林公式，当P,Q比较大时，我们有近似公式B(P,Q)=√(2π)P^(P-1/2)Q^(Q-1/2)/((P+Q)^(P+Q-1/2))。

不完全贝塔函数

B(x;P,Q)= ∫X^(P-1)*(1-X)^(Q-1)dX,其中上限为x,下限为0.很显然当x取1时，结果就变成完全的贝塔函数了。不完全贝塔函数和对应贝塔函数的比值I(x;P,Q)=B(x;P,Q)/B(P,Q)构成了归一化的贝塔函数。而它正好是满足二项分布的随机变量的分布函数。